În linii mari predarea matematicii ar trebui organizată conform următoarelor principii:
- Adaptarea materiei şi a predării la posibilităţile şi nevoile vârstelor, dar şi în funcţie de posibilităţile individuale şi de cerinţele naţionale
Materia parcursă trebuie adaptată obligatoriu la posibilităţile şi nevoile vârstelor, atât la nivelul individului, cât şi la nivelul clasei. Gândirea elementară specifică claslor mai mici, dar mai ales unora dintre elevi, trebuie adresată în mod echilibrat în paralel cu gândirea intelectuală specifică altor elevi, şi extinsă la vârstele mai mari la majoritatea clasei (gândirea aritmetică faţă de gândirea algebrică, construcţia geometrică în opoziţie cu demonstraţia, exerciţiile de bază alături de problemele complicate etc.). Nivelul lecţiei şi profunzimea studiului diferitelor lecţii trebuie alese cu respect faţă de toţi elevii, atât faţă de cei slabi, cu capacităţi reduse, cât şi faţă de cei buni, cu capacităţi şi aşteptări ridicate în gândirea matematică. Totodată, încadrarea parcursului şi nivelului orelor de matematică în procesul şcolar naţional este un deziderat evident şi trebuie urmărit de către orice dascăl ce predă matematica la gimnaziu.
- Principiul ne-suprapunerii itemilor noi
Se va evita introducerea simultană a mai multor itemi, noţiuni sau abilităţi de calcul. Astfel, de pildă în clasa a V-a, se vor studia în lecţii separate descompunerea intuitivă a numerelor naturale în factori, apoi algoritmul de descompunere “cu bară”, dar scriind răspunsul tot ca produs cu enumerarea tuturor factorilor, iar de-abia apoi scrierea descompunerii ca produs de puteri de factori primi; la fel se vor studia în lecţii separate introducerea operaţiei de putere, integrarea noii operaţii în exerciţii cu toate nivelele de operaţii, respectiv proprietăţile operaţiilor cu puteri şi scurtcircuitarea ordinii operaţiilor prin acestea. Odată cu avansarea în vârstă, acest principiu scade ca importanţă, dar nu-şi va pierde nici o dată cu totul valabilitatea.
- Predarea în spirală
Predarea în spirală oferă formarea tot mai complexă a noţiunilor şi a ideilor matematice, urmărind evoluţia acestora odată cu dezvoltarea gândirii elevului şi cu lărgirea spectrului său de cunoştinţe aferente. Predarea în spirală poate fi aplicată la diferite magnitudini, în cadrul unui capitol la lecţii învecinate, sau în cadrul unor lecţii îndepărtate în timp, în capitole diferite, sau chiar în ani de studiu diferiţi.
De cele mai multe ori în predarea în spirală o noţiune suportă un proces de evoluţie şi transformări. Astfel, vorbim despre “noţiunea vie”, pe când definirea seacă încătuşează o noţiune în parametrii strict fixaţi, aici vorbind de “noţiuni moarte”. În acest sens, prezenta programă recomandă evitarea definiţiilor. Chiar şi abordarea unei ramuri întregi a matematicii evoluează în predarea în spirală prin reluările succesive la nivele tot mai evoluate de gândire (vezi evoluţia studiului geometriei din clasa a V-a în a VII-a.
- Predarea intuitivă
Deducerea şi înţelegerea intuitivă a noilor itemi este foarte importantă la orice vârstă, însă trebuie luată cu adevărat în serios mai ales la clasele mici. Astfel, în clasele de intrare în matematica gimnazialo-liceală, profesorul va folosi cât de mult posibil intuiţia elevilor, adaptându-şi predarea pentru acest scop. Ordonarea lecţiilor şi introducerea noilor cunoştinţe se va face conform posibilităţii folosirii intuiţiei şi nu conform necesităţilor predării riguros axiomatice. Şi în acest sens se va evita definirea noţiunilor, acestea fiind mai degrabă aduse intuitiv, prin imagini, ritm şi descriere.
- Problematizarea
Problematizarea reprezintă forma cea mai naturală de implicare a elevilor în învăţarea matematicii. Aceasta se poate folosi în cadrul rezolvării diferitelor probleme, dar se poate aplica cu mult succes şi în procesul de cunoaştere a noilor conţinuturi (predarea prin problematizare). La majoritatea lecţiilor noi se poate căuta deducerea lecţiei prin problematizare. Aceasta este de variate feluri. De pildă, la lecţia despre înmulţirea numerelor naturale din clasa a V-a, când elevii de fapt cunosc înmulţirea, putem proceda în felul următor: după câteva exerciţii cu înmulţiri cu numere mari în scris, sau cu numere mici în cap (la început înmulţiri cu 10, 100, 1000 şi cu 20, 30 etc., apoi două cifre înmulţit cu o cifră – 30 ∙ 5, apoi 34 ∙ 5 sau 29 ∙ 7 etc.), după acestea le putem cere elevilor să efectueze în cap înmulţiri multiple de tipul 5 ∙ 37 ∙ 2 până la 25 ∙ 73 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2. În acelaşi gând le putem cere elevilor să găsească produsul numerelor de la 1 la 10; aici se fac anumite înmulţiri mintal, apoi cele mari în scris, iar în final se adaugă două zero-uri la coadă. Analizând cum s-au rezolvat acestea, clasa poate deduce apoi comutativitatea şi asociativitatea înmulţirii. Aceasta este o predare prin problematizare “din aproape în aproape”; elevul nu ştie care este ţelul predării în această oră, lăsându-se condus cu încredere de către profesor. În acest caz, titlul lecţiei se scrie cel mai bine către sfârşitul orei, când lucrurile s-au clarificat. Dimpotrivă, se pot da exemple de problematizare clasică, adică atunci când elevul află ţelul lecţiei, iar apoi se caută drumul către acesta.
O formă specială a predării prin problematizare este predarea prin întrebări. Profesorul descompune procesul de gândire în paşi mici, accesibili gândirii elevului, astfel încât, cu fiecare nouă întrebare elevul mai descoperă un pas nou al lecţiei. Forma ideală (extremă) a acestei metode este atunci când profesorul nu dă nici o cunoştinţă nouă elevilor, ci le pune doar întrebări cu care le îndrumă acestora parcursul de descoperire pentru întreaga lecţie.
- Activităţi ludice şi ritmice
Activităţile cu caracter ludic sunt binevenite la orice clasă dacă sunt corect adaptate vârstei. Se pot face jocuri matematice la începutul orei (* vezi exemplul din final), dar şi diferite calcule de pornire a gândirii, prezentate în formă de joc. În acest sens putem face oricând un foarte bun exerciţiu “de încălzire” cu câteva zaruri aruncate pe masă în faţa elevului:profesorul vede “dintr-o privire” dacă are mai mulţi de 2 şi 5 sau nu. Dacă da, atunci îi cere elevului să găsească produsul total; dacă nu, atunci îi cere suma totală. Acest exerciţiu este însă unul individual şi poate fi crescut în dificultate prin creşterea numărului de zaruri. Odată cu învăţarea descompunerii, acest exerciţiu devine şi mai uşor (de pildă, în cazul produsului, un 6 şi un 5 între zaruri se transformă într-un 3 şi un zero la coadă).
Chiar şi unele lecţii pot căpăta formă de joc, descompunerea numerelor naturale în factori primi în clasa a V-a fiind un bun exemplu în acest sens. Şi elementul ritmic, chiar dacă interiorizat din fizic în intelectual, poate sta la baza unor părţi de lecţie (de pildă, studiul şirurilor şi căutarea numerelor prime cu “Ciurul lui Eratostene”, tot în clasa a V-a). Construirea corpurilor geometrice din carton este o activitate mai aşezată, manufacturieră, însă cu profund caracter ludic. În sensul căutării jocului în matematică, pe lângă lecţiile din programă se pot include şi teme deosebite, cum ar fi un mic studiu al “pătratelor magice”, măcar pe pătratele de 3×3, 4×4 şi de ordin impar. La clasele mai mari caracterul ludic poate apărea de la elemente de “magie matematică” (de pildă cu zaruri) până la diferite alte probleme de “matematică distractivă”.
- Predarea artistică
Elementele artistice şi manualitatea sunt binevenite în cadrul orelor de matematică, de la redactarea şi aranjarea estetică a caietului de epocă sau a fişelor din portofoliu, până la activităţi cu profund caracter artistic (cum ar fi realizarea formelor geometrice frumoase şi colorarea acestor desene în clasa a V-a). În măsura în care se pricepe, dascălul poate aduce la ora de matematică şi elemente de observare a fracţiilor pe corzile instrumentelor, adică la notele muzicale, în diferite cântece.
Dinspre profesor, predarea artistică are, pe lângă încurajarea aspectelor mai sus menţionate, şi alte valenţe mai subtile, cum ar fi trezirea prin intermediul matematicii a sentimentelor de frumos, de bucurie şi de admiraţie în sufletul copiilor. Organizarea lecţiilor într-un crescendo care duce la o descătuşare de uimire prezintă similitudini cu felul în care un compozitor îşi structurează simfonia, sau felul în care un scriitor trezeşte într-un roman curiozitatea şi oferă deznodământul abia spre sfârşit.
- Libertatea şi obligaţiile profesorului
Aranjarea materiei din prezenta programă este orientativă, profesorul având oricând libertatea de a găsi alte variante de aranjare a materiei în forma lecţiilor, în forma capitolelor sau chiar în forma aranjării acestora la nivelul unui an de studiu sau la nivelul întregului ciclu gimnazial. Singura obligaţie evidentă este aceea de a parcurge toate cunoştinţele din programa de examen până la sfârşitul clasei a VIII-a, într-o ordine raţională şi într-un ritm echilibrat. Chiar şi conţinuturile sunt în linii mari de două feluri: cele obligatorii prin prisma prezenţei lor la examen pe diferite paliere de dificultate, cât şi cele facultative, dar recomandate prin prisma încărcăturii lor cu spiritualitate matematică (de pildă, numerele perfecte şi numerele prietene din clasa a V-a sau corpurile platonice din clasa a VIII-a). În programă există şi conţinuturi care nu sunt incluse în materia de examen, dar care contribuie din plin la înţelegerea elementelor ce se dau la examen. Mai presus de toate însă, utilitatea matematicii trebuie văzută în formarea gândirii logice, raţionale, libere, de care elevul va beneficia în întreaga sa viaţă şi în afara matematicii, profesorul având obligaţia de a se preocupa constant şi în acest sens. CTG
* Cel mai bun joc matematic, ce implică toată clasa, măcar pentru început, este jocul Bum pe 7. Elevii participanţi (adică toată clasa) împreună cu profesorul, se aranjează în cerc (măcar oval să fie; trebuie tehnic ca fiecare să-l poată vedea pe fiecare). Profesorul (şeful de joc) porneşte număratul cu 1 (unu), uitându-se totodată într-o parte (la dreapta sau la stânga) pentru a stabili sensul de numărare. Apoi, fiecare elev la rând numără mai departe: 1, 2, 3, 4 ….. , trebuind să respecte următoarele două reguli: să spună în loc de numărul care vine la rând BUM! în cazul în care este un număr din şirul lui 7, adică un multiplu de 7, dar şi în cazul când numărul de spus este cu 7, adică are în scrierea sa 7, conţine cifra 7. Practic, vom avea secvenţe de joc de tipul: 11, 12, 13, Bum, 15, 16, Bum, 18 …, sau 25, 26, bum, bum, 29, 30 …, sau iarăşi 68, 69, bum, bum, bum, …(10 bum-uri la rând), 80 …, sau, pentru cei mai avansaţi, 268, 269, bum, bum, bum, …(11 bum-uri la rând), 281, 282 …
Cine greşeşte iese din joc. Câştigă ultimii doi rămaşi în joc (la doi jucători, jocul devine dezechilibrat). Toate calculele se fac în cap (fiecare cum îl duce mintea), jocul suplinind lipsa unui criteriu viabil de divizibilitate cu 7. Decizia se ia în urma unor calcule de tipul 84 = 70 + 14 (spun Bum) sau 163 = 2∙70 + 23 (spun numărul), trebuind însă să fiu tot timpul atent şi la cifra 7: 157 = 140 + 17, dar conţine 7, deci este Bum! Un coleg din Suedia spunea că el, la elevii buni, joacă cu următorul supliment: când sunt îndeplinite două criterii de bum, atunci se spune totuşi numărul; de exemplu la 175 sau la 177.
La început jocul se termină repede, dar dacă se va exersa din când în când, elevii încep să meargă tot mai mult, ajungându-se în cazuri bune dincolo de 300. Problema este că şi durata jocului creşte corespunzător. Elevii care au ieşit se plictisesc rău de tot (ar trebui să aibă o ocupaţie, de pildă o fişă de lucru). Astfel jocul este bun în ore din acelea pierdute (sfârşitul semestrului, sau când trebuie să suplinim la o clasă care nu are caietele de matematică). Eu folosesc acest joc mai ales la clasele mici, a V-a sau a VI-a, când elevii sunt foarte bucuroşi de un astfel de divertisment. CTG