În partea a doua a acestei serii am prezentat o formă diferită de introducere a numerelor prime în clasa a V-a, faţă de ceea ce se practică la ora actuală.. Forma de predare riguroasă, cu care suntem obişnuiţi majoritatea profesorilor, ne cere să dăm o definiţie unică, pe baza căreia apoi să deducem eventual alte aspecte ale obiectului matematic studiat, într-un sistem de observaţii şi teoreme. Aşa suntem învăţaţi şi obişnuiţi toţi profesorii (noblesse oblige!), şi cu greu acceptăm o altă cale de abordare a lucrurilor. Merită aşadar, să privim cu mai multă atenţie asupra gândurilor ce au stat în spatele unei abordări atăt de profund diferite, ca cea din postarea precedentă, pentru a nu lăsa cititorul într-o profundă stare de nedumerire.
Principiul de bază urmărit prin această abordare, este acela că orice noţiune nouă trebuie adusă la cunoştinţă elevilor prin cât mai multe abordări diferite, nu doar printr-una, surprinzând astfel într-o formă naturală exact ce se întâmplă atunci când vedem un obiect nou, nemaiîntâlnit: îl luăm în mână şi îl întoarcem “pe toate feţele”, analizându-l cu atenţie şi descoperindu-i încet diferite detalii. Acest principiu este total opus principiului doct folosit în prezentarea riguroasă, de sorginte academică, a noţiunilor matematice prin intermediul definiţiei (a unei unice şi a-tot-dominatoare definiţii). Mai ales la clasele mici consider că principiul predării prin unice şi seci definiţii este total nepotrivit, această cale reprezentând una din sursele eşecului în învăţarea matematicii la mulţi elevi. Apropierea de o noţiune esenţială, cum sunt numerele prime, cu calm, paşnic, azi dintr-o parte, mâine din altă parte, săptămâna viitoare iarăşi dintr-o altă parte, le poate oferi şi elevilor normali şansa de a pricepe până la urmă ce vrea noua noţiune.
La proaspătul elev de clasa a V-a, în semestrul I, această apropiere de numerele prime trebuie făcută cu blăndeţe, aproape ca într-o poveste. Dacă eu nu am reuşit să prezint destul de convingător această nuanţă a predării, permiteţi-mi să îl chem în ajutor pe marele Euler, prezentându-vă felul cum acesta se apropia de subiectul numerelor prime. În finalul lui 2016 am achiziţionat dintr-un anticariat virtual o mică comoară, cartea Vollständige Anleitung zur Algebra von Leonhard Euler (Introducere completă în/către Algebră de Leonhard Euler). Permiteţi-mi să vă traduc în acest sens câteva pasaje din Capitolul 4 al primei părţi a acestei cărţi (pag. 25-27):
- Am observat, că un produs este compus din două sau mai multe numere care se înmulţesc între ele, acestea numindu-se factori. …
- Dacă analizăm toate numerele, în ce măsură acestea se pot obţine prin înmulţire a două sau mai multe numere, atunci vom constata destul de repede că unele nici nu se pot obţine prin înmulţire, şi astfel nu au deloc factori; altele însă se pot scrie înmulţit cu două sau mai multe numere, ca urmare având doi sau mai mulţi factori.
Astfel, 4 dă căt 2∙2, mai departe 6 dă cât 2∙3, apoi 8 dă căt 2∙2∙2 …
- Dimpotrivă, numerele 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 etc. nu se lasă descompuse în acelaşi fel în factori, doar dacă nu l-am lua în ajutor şi pe 1, astfel încât de exemplu pe 2 să-l reprezentăm ca 1∙2. Dar, datorită faptului că un număr înmulţit cu 1 nu se modifică, atunci pe 1 nici nu-l putem privi ca factor.
Toate aceste numere care nu se pot descompune în factori, ca 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 etc., se numesc numere simple sau numere prime; toate numerele rămase însă, cele care se pot reprezenta cu factori, adică 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18 etc., se numesc numere compuse. …
- Numerele compuse însă, cele care se lasă prezentate prin factori, izvoresc toate din numerele prime de mai sus, astfel încât toţi factorii sunt numere prime. Pentru că dacă un factor nu ar fi număr prim, ci un număr compus, atunci acesta s-ar putea la rândul său descompune în doi sau mai mulţi factori numere prime. Deci, dacă numărul 30 se reprezintă prin 5∙6, iar 6 nu este număr prim, ci 2∙3, aşadar 30 se poate reprezenta prin 5∙2∙3 sau prin 2∙3∙5, toţi factorii fiind numere prime. …(urmează câteva exemple de descompunere, inclusiv descompunerea lui 360, extrăgând din acesta câte un factor de 2, apoi câte un factor de 3 etc., ceva de genul 360 = 2∙180, iar 180 = 2∙90 ş.a.m.d.)
Ca urmare, numărul 360 se descompune în factori simpli ca: 2∙2∙2∙3∙3∙5, care numere, toate înmulţite dau ca rezultat 360.
- Vedem din acestea că numerele prime nu se pot împărţi prin alte numere, pe când numerele compuse cel mai des se pot descompune în factorii lor simpli, căutând toate numerele simple prin care acestea se lasă împărţite. …
Da, aşa vorbea marele Euler despre numerele prime, de parcă totul ar făcea parte dintr-o poveste minunată, în care numerele prime sunt unele din multele personaje. Am convingerea, că această poveste este mult mai potrivită elevilor de clasa a V-a, decât formele practicate actualmente, adaptate după diverse variante de cursuri universitare. Acest prim principiu enunţat mai sus ar putea fi prezentat scurt şi sec şi în felul următor: caracterizare, nu definire!
Un alt principiu foarte important, urmărit în predarea prezentată, este cel enunţat de către un prieten, Zan Redzic, profesor din Germania, sub titlul de Spieldrang = impulsul de a te juca; dorinţa de joc. Într-adevăr, elevii au un impuls nestăvilit de a se juca, de a transforma cu bucurie orice activitate în joc. Astfel, după cum aţi putut observa, prima apariţie a numerelor prime am făcut-o adus-o exact printr-un “joc”. Chiar şi numai pronunţarea cuvântului “joc” detensionează foarte mult starea sufletească a unor elevi mai fricoşi în ceea ce priveşte matematica.
Astfel, de la o vreme, chiar “vânarea” numerelor prime devine un joc în sine, cu fiecare oră de matematică lărgindu-se experienţa elevilor în localizarea unor noi numere prime. Desigur că elevii trebuie ajutaţi în această vânătoare; de pildă, într-una din orele următoare Ciurului lui Eratostene le aduc elevilor o coală de hârtie în formatul A5 având pe o parte toate numerele prime până la 2500, iar pe cealaltă un tabel cu cei mai mici divizori ai unor numere până la 1500 (fotocopiată din Ioan Şt. Muşat, C. Ionescu Ţiu, Exerciţii şi probleme de matematică pentru concursul de admitere în licee, Ed. didactică şi pedagogică, 1971, Biblioteca S.S.M. din R.S.R., pag. 15,16; vezi anexa la prezentul eseu; imprimaţi pe format A4 pe ambele părţi şi tăiaţi în două A5). Cu ajutorul acestora elevii pot vâna mult mai “profesionist” numere prime dincolo de limita învăţării intuitive (până pe la 30-40), dincolo de limita probei împărţirii în cap (cam până la 100) şi dincolo de limita propriului Ciur al lui Eratostene (numerele prime până pe la 250). Iar dacă un număr nu este pe lista cu numere prime, elevul poate înţelege cum se face descompunerea acestuia, în cazul când nu se împarte exact cu 2, 5, sau 3. Descompunerea unor astfel de numere devine aici un joc în sine.
Un nou joc, care nu ţine aparent de numerele prime, este scrierea primilor termeni din şirurile de puteri cunoscute, ale lui 2 (până la 212), lui 3 (până la 310), lui 4 (până la 46), lui 5 (până la 58) sau ale lui 10 (foarte distractiv, merge până la 1010). După ce s-au obişnuit cu acestea, le putem prezenta elevilor două tipuri de numere cu totul speciale, ce au reprezentat momente majore în evoluţia matematicii: Numerele lui Mersenne şi Numerele lui Fermat, care au reprezentat în viziunea autorilor tentative de găsit a unor reguli ce ar genera numere prime. Pentru noi, fiecare din aceste şiruri reprezintă un joc în care elevii pot urmări dacă anumite numere sunt sau nu numere prime.
Numerele lui Mersenne (Călugărul Marin Mersenne, 1588-1648), calculate cu formula Mn = 2n – 1, reprezintă o primă încercare de găsire a unei reţete pentru obţinerea de numere prime. Încercarea nu a fost una de mare succes, dar aceasta reprezintă o poveste interesantă şi baza pentru un mic joc în care elevii să verifice care sunt numere prime şi care nu sunt. Totodată elevii au reuşit să observe şi alte legităţi legate de ultima cifră, legităţi ce sunt conectate cu cele mult mai cunoscute legate de evoluţia ultimei cifre la şirurile puterilor. Despre Mersenne le povestesc elevilor că a reprezentat unul din primele nuclee ştiinţifice ale vremii, întreţinând o corespondenţă activă cu mai-marii vremii: Descartes, Galilei, Pascal etc. grupul din jurul său reprezentând nucleul pe urma căruia s-a înfiinţat Academia franceză. Cu elevii am verificat primele 12 numere ale lui Mersenne, pentru n de la 1 la 12. Astfel se numere prime doar pentru n = 2, 3, 5, 7; Următorul prim se obţine pentru n = 13 şi verificarea acestuia reprezintă deja o sarcină doar pentru elevii pasionaţi de matematică (temă neobligatorie). Numărul 8191, cunoscut ca “primul lui Mersenne”, poate fi sursa unor preocupări interesante pentru elevii buni de clasa a V-a (vezi Apostolos Doxiadis – Unchiul Petros şi Conjectura lui Goldbach, Ed. HUMANITAS, 2003, pag. 125). Las cititorului bucuria de a găsi şi alte surse despre aceste numere fascinante.
Numerele lui Fermat (Pierre de Fermat, 1607-1665) au reprezentat o încercare mult mai reuşită de a găsi o reţetă pentru obţinerea unor numere prime. Faptul că 257 este prim se constată din tabel; verificarea lui 65537 (numărul lui Fermat pentru n = 4) este însă un exerciţiu puternic şi pentru elevii buni la matematică. Povestea interesantă însă, de-abia acum începe: următorul număr Fermat, pentru n = 5, este 4.294.967.297, iar despre acesta s-a presupus că este tot număr prim. Marele Fermat trebuie că avusese dreptate. De-abia în 1732, Leonhard Euler a arătat că 4.294.967.297 = 641 ∙ 6.700.417 şi deci că nu este prim, spulberând astfel marele mit al numerelor prime ale lui Fermat. În era computerelor, în 1966, s-a arătat că următoarele 38 de numere Fermat sunt toate compuse. Aceasta rămâne însă o foarte frumoasă poveste de spus la ora de matematică.
Dacă tot vorbirăm de jocuri cu numere prime, în ultimii doi ani am exersat cu elevii o formă interesantă de găsire a tuturor divizorilor unui număr natural, bazată pe descompunerea acestuia în factori primi. Astfel, am aranjat divizorii într-un fel de tabel organizat pe nivele după numărul de factori primi care sunt asamblaţi pentru a obţine divizorii. Cu metoda respectivă se pot găsi cu mare siguranţă toţi divizorii, pe baza faptului că tabelul respectiv în formă de frunză are formă simetrică, nivelele simetrice faţă de extremităţi având un număr egal de divizori. Poza următoare a tablei din ora respectivă arată două cazuri mai simple, D12 şi D72, din care puteţi deduce “regulile acestui joc”. Vă propun în continuare să vă distraţi cu găsirea tuturor divizorilor unui număr ceva mai mare, numărul 3000, care are descompunerea în şapte factori de trei feluri, tabelul pe opt nivele oferind în mod ordonat toţi cei 32 de divizori.
Merită făcută aici o scurtă comparaţie legată de accesibilitatea în ceea ce priveşte posibilitatea de înţelegere de către elevi a acestei abordări vizavi de tot mai frecventata formulă care ne dă direct numărul divizorilor unui număr. De pildă 3000 = 31∙23∙53 are un număr de (1+1)∙(3+1)∙(3+1) = 2∙4∙4 = 32 divizori. Aceasta se aplică foarte repede, dar elevul nu înţelege nimic, efectul fiind acela de cutie neagră. Dimpotrivă, la găsirea tuturor divizorilor prin metoda prezentată mai sus cu tabelul în formă de frunză, se lucrează foarte mult, dar elevii înţeleg fiecare pas şi pricep despre ce-i vorba; doar capacitatea lor limitată de atenţie şi de concentrare le poate sta în cale în înţelegerea fenomenului. Oare, după care din cele două elevii – mai ales cei buni – şi gândirea lor matematică rămân mai câştigaţi?
În prezentarea apariţiei numerelor prime am atins – doar tangenţial – un principiu important, anume acela de a studia un subiect începând cu metode primitive, şi ajungând în final la metoda generală, mai elaborată din punct de vedere teoretic. Concret, am abordat descompunerea numerelor naturale în factori primi într-o formă lejeră, intuitivă, liberă, bazată doar pe amintiri din tabla înmulţirii. De-abia apoi (în cazul de faţă, doar ora următoare) am dedus din aceasta metoda descompunerii în factori primi cu linia verticală, prin împărţiri succesive la numerele prime 2 şi 5, apoi 3, 7 sau 11. Pentru a ajunge la ideea de împărţire, după prima oră a trebuit să supun discuţiei în plenul clasei următoarea dublă întrebare: ce operaţie este când în “săculeţul” cu factori primi ai unui număr mai pun un nou factor, respectiv ce operaţie aritmetică are loc atunci când “scot din săculeţ” un factor? De-abia după conştientizarea faptului că extragerea unui factor înseamnă de fapt împărţirea numărului cu acel factor, de-abia după aceasta am putut transforma în câţiva paşi prima metodă de descompunere în metoda cunoscută de toată lumea. În toate orele următoare am folosit însă alternativ, după cum se potrivea mai bine, prima sau a doua dintre metode.
Acest ultim principiu prezentat este însă foarte înrudit – aproape pănă la confundare – cu un altul, anume acela de a începe învăţarea unei teme de la cazuri particulare, rezolvabile în minte, şi a evolua, ajungând cât mai târziu la cazuri dificile, rezolvabile doar prin metode scrise, mai exact prin algoritmi. De pildă, numărul 81 se poate descompune mintal prin prima metodă foarte simplu, descompunând în faza intermediară 81 în 9∙9, iar apoi fiecare 9 în 3∙3, obţinând deci 81 = 3∙3∙3∙3. Este evident că această descompunere este mult mai uşoară decât cea bazată pe împărţirea 81:3 = 27. De-abia la a doua metodă de descompunere a apărut şi artificiul de calcul de împărţire la 2∙5 în cazul descompunerii numerelor cu zero la ultima cifră.
Ca o paranteză fie spus, la exerciţiile de descompunere a numerelor în factori primi, la exemplele tot mai complicate, se potriveşte de minune a aduce în discuţie ideea de putere a numerelor naturale, la început ca o simplă metodă de scurtare a scrierii. Anul acesta, când mă pregăteam ca ora viitoare să supun discuţiei ideea unei scrieri mai scurte, doi elevi au sărit în sus, că asta trebuie să fie operaţia de putere! (o văzuseră la un verişor sau un frate mai mare).
Există şi un principiu mai rar folosit, care însă ajută foarte mult la studiul unor situaţii numerice. Este vorba de încercarea de a arăta conexiunile numerice prin anumite conexiuni sau ordonări grafice. Probabil, cel mai cunoscut exemplu este acela când calculăm o Sumă Gauss fără formulă, adunănd primul termen cu ultimul, al doilea cu penultimul ş.a.m.d., conectând perechile de termeni adunaţi pe hârtie cu câte o linie curbă. Evidenţierea grafică a unor conexiuni poate contribui la formarea unei viziuni mai clare asupra sistemului de relaţii între elementele studiate (citat relativ din George Polya, Descoperirea în matematică, Ed. Ştiinţifică, 1971, pag 178, pr. 6.20). Evidenţierea grafică a unor astfel de conexiuni între elementele studiate poate ajuta foarte mult la înţelegerea şi clarificarea conexiunilor dintre numerele participante în momentul respectiv. Aceste încercări de evidenţiere a conexiunilor apar în două locuri în lecţiile prezentate. În primul rând s-a văzut la descompunerea numerelor în factori, unde am prezentat descompunerea în forma unui graf pe care elevii îl denumesc după libera inspiraţie (brăduleţ, triunghi sau piramidă, reţea de rădăcini etc.) Un al doilea loc de amintit a fost forma în care se pot organiza divizorii unui număr, după numărul factorilor primi ce intră în componenţa fiecărui divizor. Acele tabele în formă de frunză oferă elevilor o structură ce reprezintă de fapt o schelă de susţinere a gândurilor necesare pentru atingerea obiectivului propus.
Să analizăm în final şi un alt aspect, mai special, despre prezentarea la clasă a acestui material. Poate v-aţi întrebat de ce nu am folosit deloc expresii şi scriere specifice teoriei mulţimilor. Puteam desigur să le folosesc, dar nu a fost neapărat nevoie. Mai precis, am vrut să arat că se poate studia liniştit această temă fără limbajul mulţimilor, care la început doar îi încurcă pe elevi. Scrierea în limbajul mulţimilor a fost introdusă în clasele gimnaziale de-abia odată cu reforma din 1980, contribuind din plin la îngreunarea materiei şi la percepţia generală că matematica este o materie grea ce nu prea se poate înţelege, fiind scrisă într-un mod mult prea ştiinţific, inteligibil doar pentru “micii Einsteini”. Trebuie să înţelegem, însă, că limbajul mulţimilor nu a fost folosit nici la nivel înalt decât în ultima parte a secolului XX. De pildă, în lucrarea Ce ştim şi ce nu ştim despre numerele prime a profesorului Waclaw Sierpinski (Ed. Ştiinţifică, 1966), acesta se descurcă de minune fără a folosi nici măcar o dată elemente de scriere din limbajul mulţimilor (lucrarea este tradusă după Waclaw Sierpinski, A selection of problems in the theory of numbers, Pergamon Press, Oxford ∙ London ∙ New York ∙ Paris, 1964).
Aici este ascuns un alt principiu didactic deseori neglijat în predarea matematicii, anume faptul că orice lucru nou trebuie oferit elevilor într-o ambianţă familiară cunoscută, pe un fundament deja stabilizat pe o lungă perioadă de timp, adică într-un limbaj bine cunoscut şi stăpânit de toţi elevii. A introduce noţiuni noi folosind totodată un limbaj de tip nou (introdus la repezeală cu câteva ore în urmă) este o gafă de proporţii, ce se repetă în multe alte puncte ale predării matematicii, această metodă fiind impusă în predarea din România de-abia odată cu Reforma uitată din 1980 (reforma, din păcate, de mult uitată de către majoritatea profesorilor).
6 Ian. 2017
Titus Grigorovici
